Các phương trình toán học không chỉ hữu ích – nhiều phương trình còn khá đẹp nữa. Và nhiều nhà khoa học thừa nhận rằng họ thường thích những công thức nhất định không phải vì chức năng của chúng, mà vì dạng thức của chúng, và những sự thật đơn giản, nên thơ mà chúng ẩn chứa.

Trong khi những phương trình nổi tiếng nhất định, như E = mc2 của Albert Einstein, được phần đông thế giới biết tới trên đỉnh vinh quang, thì những công thức kém quen thuộc hơn có địa vị của chúng trong cộng đồng khoa học.


Thuyết tương đối rộng

Phương trình trên do Einstein thiết lập là một bộ phận của lí thuyết tương đối rộng mang tính đột phá của ông vào năm 1915. Lí thuyết đã làm cách mạng hóa suy nghĩ của các nhà khoa học về lực hấp dẫn với việc mô tả lực hấp dẫn là một sự uốn cong của cấu trúc không gian và thời gian.

“Cái vẫn khiến tôi ngạc nhiên là một phương trình toán học như thế có thể mô tả toàn bộ không-thời gian là cái gì,” phát biểu của nhà thiên văn vật lí Mario Livio thuộc Viện Khoa học Kính thiên văn Vũ trụ ở Mĩ. “Toàn bộ thiên tài đích thực của Einstein nằm ở phương trình này.”

“Vế phải của phương trình này mô tả lượng năng lượng của vũ trụ của chúng ta (bao gồm cả ‘năng lượng tối’ gây ra sự gia tốc vũ trụ hiện nay,” Livio giải thích. “Vế trái mô tả hình dạng của không-thời gian. Dấu bằng phản ánh thực tế trong thuyết tương đối rộng của Einstein, khối lượng và năng lượng xác định dạng hình học, và đồng thời xác định độ cong, đó là một biểu hiện của cái chúng ta gọi là lực hấp dẫn.”

“Nó là một phương trình rất đẹp,” phát biểu của Kyle Cranmer, một nhà vật lí tại trường Đại học New York. Ông cho biết thêm rằng phương trình trên cho thấy mối liên hệ giữa không-thời gian với vật chất và năng lượng. “Phương trình này cho bạn biết chúng có liên quan như thế nào – sự có mặt của mặt trời làm cong không-thời gian như thế nào để Trái đất chuyển động trong quỹ đạo xung quanh nó, vân vân. Nó còn cho bạn biết vũ trụ đã tiến hóa như thế nào kể từ Big Bang và dự đoán sẽ có tồn tại các lỗ đen.”


Mô hình chuẩn

Là một trong những lí thuyết đương đại khác của vật lí học, Mô hình chuẩn mô tả tập hợp những hạt cơ bản hiện nay được cho là cấu tạo nên vũ trụ của chúng ta.

Lí thuyết có thể được tóm gọn trong một phương trình chính gọi là Lagrangian mô hình chuẩn (đặt theo tên nhà toán học và nhà thiên văn học người Pháp thế kỉ 18 Joseph Louis Lagrange). Nhà vật lí lí thuyết Lance Dixon thuộc Phòng thí nghiệm Máy gia tốc Quốc gia ở California chọn đây là công thức yêu thích của ông.

“Nó đã mô tả thành công tất cả những hạt sơ cấp và những lực mà chúng ta quan sát thấy trong phòng thí nghiệm tính cho đến nay – ngoại trừ lực hấp dẫn,” Dixon nói. “Tất nhiên, phương trình đó bao gồm cả boson (giống) Higgs mới được khám phá gần đây, phi trong công thức. Nó hoàn toàn tự-tương thích với cơ học lượng tử và thuyết tương đối hẹp.”

Tuy nhiên, cho đến nay, lí thuyết mô hình chuẩn chưa được thống nhất với thuyết tương đối rộng, đó là lí do nó không thể mô tả lực hấp dẫn.


Định lí cơ bản của giải tích

Trong khi hai phương trình đầu tiên mô tả những phương diện nhất định của vũ trụ, thì một phương trình được yêu thích nữa có thể áp dụng cho mọi kiểu tình huống. Định lí cơ bản của giải tích tạo nên nền tảng của phương pháp toán học gọi là giải tích, và liên hệ hai khái niệm chính của nó, khái niệm tích phân và khái niệm đạo hàm.

“Nói cho đơn giản, [phương trình] cho biết độ biến thiên toàn phần của một đại lượng trơn và liên tục, ví dụ như quãng đường đi được, trong một khoảng thời gian cho trước (tức là hiệu hai giá trị của đại lượng đó tại hai điểm đầu cuối của khoảng thời gian) bằng tích phân của tốc độ biến thiên của đại lượng đó, tức là tích phân của vận tốc,” phát biểu của Melkana Brakalova-Trevithick, trưởng khoa toán học tại trường Đại học Fordham. Bà chọn đây là phương trình yêu thích của mình. “Định lí cơ bản của giải tích cho phép chúng ta xác định độ biến thiên toàn phần trong một khoảng thời gian dựa trên tốc độ biến thiên trên toàn bộ khoảng thời gian đó.”

Mầm mống của giải tích đã bắt đầu từ thời cổ đại, nhưng phần lớn kiến thức giải tích được tập hợp vào thế kỉ thứ 17 bởi Isaac Newton, người đã sử dụng giải tích để mô tả chuyển động của các hành tinh xung quanh mặt trời.


Định lí Pythagoras

Một phương trình “cũ nhưng hay” là định lí Pythagoras nổi tiếng, định lí mà mỗi học sinh học hình học vỡ lòng đều biết đến.

Công thức này mô tả, đối với một tam giác vuông, bình phương chiều dài của cạnh huyền (cạnh dài nhất của một tam giác vuông) bằng với tổng bình phương chiều dài của hai cạnh còn lại.

“Thực tế toán học rất lâu đời khiến tôi bất ngờ là định lí Pythagoras,” phát biểu của nhà toán học Daina Taimina thuộc trường Đại học Cornell. “Lúc tôi còn nhỏ, cái khiến tôi bất ngờ là định lí này áp dụng cả trong hình học và với những con số!”


Phương trình Euler

Công thức đơn giản này tóm lược đôi điều thuần khiết về bản chất của hình cầu.

“Nó nói nếu bạn cắt bề mặt của một quả cầu thành các mặt, các cạnh và các đỉnh, và đặt F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh, thì bạn sẽ luôn luôn có V – E + F = 2,” phát biểu của Colin Adams, một nhà toán học tại trường Williams College ở Massachusetts.

“Cho nên, ví dụ, xét một tứ diện, gồm bốn hình tam giác, sáu cạnh và bốn đỉnh,” Adams giải thích. “Nếu bạn thổi mạnh vào một tứ diện có các mặt linh hoạt, thì bạn có thể làm nó phồng lên thành một quả cầu, cho nên hiểu như thế, một quả cầu có thể được cắt thành bốn mặt, sáu cạnh và bốn đỉnh. Và chúng ta thấy V – E + F = 2. Điều tương tự đúng cho một kim tự tháp có năm mặt – bốn tam giác, và một hình vuông – tám cạnh và năm đỉnh,” và mọi kết hợp bất kì khác của các mặt, các cạnh và các đỉnh.

“Một thực tế rất đẹp! Các tổ hợp của các đỉnh, các cạnh và các mặt đang nắm giữ cái rất cơ bản về hình dạng của một quả cầu,” Adams nói.


Thuyết tương đối hẹp

Einstein có mặt trong danh sách lần nữa với công thức của ông cho thuyết tương đối hẹp, lí thuyết mô tả làm thế nào thời gian và không gian không phải là những khái niệm tuyệt đối, mà có tính tương đối tùy thuộc vào tốc độ của người quan sát. Phương trình trên thể hiện thời gian giãn ra, hay chậm đi, như thế nào khi một người chuyển động càng nhanh theo một hướng nhất định.

“Điểm mấu chốt là nó thật sự rất đơn giản,” phát biểu của Mill Murray, một nhà vật lí hạt sơ cấp tại phòng thí nghiệm CERN ở Geneva. “Không có cái gì mà một học sinh trình độ A không thể làm được, không có những đạo hàm phức tạp và những phép tính đại số rườm rà. Nhưng cái nó thể hiện là một phương pháp hoàn toàn mới nhìn nhận thế giới, một quan điểm về thực tại và mối liên hệ của chúng ta với nó. Thật bất ngờ, vũ trụ bất di bất dịch bị bác bỏ và thay vào đó là một thế giới nhân trung, liên quan với cái bạn quan sát. Bạn chuyển từ chỗ ở bên ngoài vũ trụ, nhìn xuống, thành một trong những bộ phận bên trong nó. Nhưng các khái niệm và cơ sở toán học có thể nắm bắt được bởi bất cứ ai muốn nắm bắt.”

Murray nói ông thích các phương trình thuyết tương đối hẹp hơn những công thức phức tạp trong lí thuyết sau này của Einstein. “Tôi không bao giờ theo dõi hết cơ sở toán học của thuyết tương đối rộng,” ông nói.


1 = 0.999999999….

Phương trình đơn giản này phát biểu rằng đại lượng 0,999, theo sau là một dãy vô hạn số 9, là tương đương với 1. Đây là phương trình yêu thích của nhà toán học Steven Strogatz ở trường Đại học Cornell.

“Tôi thích cái đơn giản của nó – mọi người đều hiểu nó nói cái gì – nhưng nó thật khiêu khích,” Strogatz nói. “Nhiều người không tin nó có thể đúng. Nó còn cân bằng đẹp đẽ nữa. Vế trái biểu diễn sự bắt đầu của toán học; vế phải biểu diễn những bí ẩn của sự vô hạn.”


Phương trình Euler–Lagrange và định lí Noether

“Những cái này rất trừu tượng, nhưng có sức mạnh đến bất ngờ,” phát biểu của Cranmer ở trường Đại học New York. “Cái đẹp là phương pháp nghĩ về vật lí học như thế này đã sống sót qua một số cuộc cách mạng chính trong vật lí học, như cơ học lượng tử, thuyết tương đối, vân vân.”

Ở đây, L là kí hiệu cho Lagrangian, đó là một số đo năng lượng trong một hệ vật chất, ví dụ như lò xo, đòn bẩy hay các hạt sơ cấp. “Giải phương trình này cho bạn biết hệ sẽ tiến triển theo thời gian như thế nào,” Cranmer nói.

Một phát sinh của phương trình Lagrange được gọi là định lí Noether, đặt theo tên nhà toán học người Đức thế kỉ 20 Emmy Noether. “Định lí này thật sự cơ bản đối với vật lí học và vai trò của sự đối xứng,” Cranmer nói. “Đại khái định lí nói là nếu hệ của bạn có một đối xứng, thì có một định luật bảo toàn tương ứng. Ví dụ, quan điểm rằng các định luật cơ bản của vật lí học ngày hôm nay giống với ngày mai (đối xứng thời gian) hàm ý rằng năng lượng được bảo toàn. Quan điểm rằng các định luật vật lí ở đây giống với ở không gian vũ trụ bên ngoài hàm ý rằng động lượng được bảo toàn. “Sự đối xứng có lẽ là khái niệm quan trọng trong vật lí học căn bản, chủ yếu nhờ đóng góp của Noether.”


Phương trình Callan-Symanzik

“Phương trình Callan-Symanzik là một phương trình nguyên lí thiết yếu từ năm 1970, cần thiết để mô tả những trông đợi chất phác sẽ thất bại như thế nào trong một thế giới lượng tử,” phát biểu của nhà vật lí lí thuyết Matt Strassler thuộc trường Đại học Rutgers.

Phương trình trên có vô số ứng dụng, kể cả cho phép các nhà vật lí ước tính khối lượng và kích cỡ của proton và neutron, thành phần cấu tạo của hạt nhân nguyên tử.

Vật lí cơ bản cho chúng ta biết rằng lực hấp dẫn, và lực điện, giữa hai vật tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Ở một cấp độ đơn giản, điều tương tự là đúng đối với lực hạt nhân mnhj liên kết proton và neutron với nhau tạo thành hạt nhân nguyên tử, và liên kết các quark với nhau tạo thành proton và neutron. Tuy nhiên, những thăng giáng lượng tử nhỏ xíu có thể làm thay đổi chút ít sự phụ thuộc của một lực vào khả năng, nó có những hệ quả kịch tính đối với lực hạt nhân mạnh.

“Nó ngăn không cho lực này giảm ở những khoảng cách xa, và làm cho nó bắt giữ các quark và kết hợp chúng tạo thành proton và neutron của thế giới của chúng ta,” Strassler nói. “Cái phương trình Callan-Symanzik làm được là liên hệ hiệu ứng kịch tính và khó tính toán này, quan trọng khi [khoảng cách] chừng bằng kích cỡ của một proton, với những hiệu ứng tinh vi hơn nhưng dễ tính toán hơn có thể đo được khi [khoảng cách] nhỏ hơn nhiều so với kích cỡ của một proton.”


Phương trình sức căng bề mặt tối thiểu

“Phương trình sức căng bề mặt tối thiểu bằng cách nào đó mã hóa các màng xà phòng tuyệt đẹp tạo nên những dây ranh giới khi bạn dìm chúng vào nước xà phòng,” phát biểu của nhà toán học Frank Morgan ở trường Williams College. “Thật tế phương trình này là ‘phi tuyến’, liên quan đến lũy thừa và tích của các đạo hàm, là dấu hiệu toán học đã mã hóa cho hành trạng bất ngờ của các màng xà phòng. Điều này trái với các phương trình vi phân riêng tuyến tính, ví dụ như phương trình nhiệt, phương trình sóng, và phương trình Schrödinger của vật lí lượng tử.”


Đường Euler

Glen Whitney, người sáng lập Bảo tàng Toán học ở New York, thì yêu thích một định lí hình học khác. Định lí này liên quan đến đường thẳng Euler, đặt theo tên nhà toán học và nhà vật lí người Thụy Sĩ thế kỉ 18 Leonhard Euler.

“Bắt đầu với một tam giác bất kì,” Whitney giải thích. “Vẽ đường tròn nhỏ nhất chứa tam giác đó và tìm tâm của nó. Tìm khối tâm của tam giác – điểm mà tại đó hình tam giác sẽ nằm cân bằng trên một cái đinh ghim nếu cắt nó ra khỏi giấy. Vẽ ba đường cao của tam giác (đường từ mỗi đỉnh hạ vuông góc xuống cạnh đối diện), và tìm điểm tại đó cả ba đường gặp nhau. Định lí phát biểu rằng cả ba điểm bạn vừa tìm được luôn luôn nằm trên cùng một đường thẳng, gọi là ‘đường Euler’ của tam giác.”

Whitney nói định lí trên tóm lược cái đẹp và sức mạnh của toán học, nó thường biểu lộ những phân bố bất ngờ ở những hình dạng đơn giản, quen thuộc.